\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)

Thay \(x=4\pi\)

\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)

\(\Rightarrow C=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)

A. √3+1/2         B. √3−1/2          C. 1−√3/2             D. 0

B

\(f'\left(x\right)-f\left(x\right)=2cosx\)

\(\Leftrightarrow e^{-x}.f'\left(x\right)-e^{-x}.f\left(x\right)=2e^{-x}cosx\)

\(\Rightarrow\left[e^{-x}.f\left(x\right)\right]'=2e^{-x}.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow e^{-x}.f\left(x\right)=\int2e^{-x}cosxdx=e^{-x}\left(sinx-cosx\right)+C\)

Thay \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow e^{-\dfrac{\pi}{2}}.1=e^{-\dfrac{\pi}{2}}+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=sinx-cosx\)

\(\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

2.

\(I=\int e^{3x}.3^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=3^x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3^xln3dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}\int e^{3x}.3^xdx=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}.I\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{ln3}{3}\right)I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3+ln3}.e^{3x}.3^x+C\)

1.

\(I=\int\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}dx=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx-\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Xét \(J=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{\dfrac{1}{x}}\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^2}dx\\v=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

\(\Rightarrow I=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+C\)

Để tìm nguyên hàm của hàm số, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.

Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.

Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm số:

f ( x )

( 2 x − 1 ) e 1 x

= ( 2 ( 3 ) − 1 ) e 1 ( 3 )

= ( 6 − 1 ) e 1 3

= ( 5 ) e 1 3

f ( x )

e 3 x

= e 3 ( 3 )

= e 3 3

Ta tiến hành tính toán:

f ( 3 )

( 5 ) e 1 3

= 5 e 1 3

f ( 3 )

e 3 3

= e 3 3

Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

Tóm lại, để tìm nguyên hàm của hàm số, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.